ベクトル解析[22C1013]

科目名
Course Title
ベクトル解析[22C1013]
Vector Analysys
授業言語
Language
Japanese
科目区分・科目種 数学科 クラス 数学科
CCBM キャリアデザイン  
単位数 2.0単位 履修年次 2

担当教員 大場 清
学期 後期
曜日・時限・教室
月曜 7 8 理学部1号館621室

授業の形態
講義,一部対面授業あり

教科書・参考文献
参考文献は,必要に応じて授業中に指示する.

ALH区分
ALHとして実施

評価方法・評価割合
期末試験=40%,小論文(レポート)=30%,ALH(アクティブ・ラーニング・アワー)=30%

主題と目標
ベクトル場,微分形式の微分積分学が主題です.ベクトル場,微分形式は物理学における様々な“場”を記述するものであり,また幾何学の諸量を表現するものです.したがって,ベクトル場,微分形式の微分積分学は,物理学における“場”や幾何学の諸量を論ずる際の有力な方法となっています.この講義で目標となるベクトル場,微分形式に関する命題は,一括して「ストークスの定理」と呼ばれるもので,これは,微分と積分との間の著しい関係を述べた「微分積分学の基本定理」の一般化となっています.このストークスの定理を自由に使えるようになることを目標とします.

授業計画
まず,一般次元でのスカラー場とベクトル場という概念を理解し,その後,それらの微分積分であるベクトル解析を2次元で展開,そして3次元で展開します.
そこでは,スカラー場の微分としての勾配ベクトル場,ベクトル場の微分としての発散スカラー場,回転スカラー場(2次元),回転ベクトル場(3次元)を導き,また,スカラー場やベクトル場の点積分,線積分,面積分,体積分を自然に定義して,1年生の微積で扱った「微分積分学の基本定理」(1次元)がどのように2次元・3次元に拡張されていくかを見ます.すなわち,ガウスの発散定理,グリーンの定理,ストークスの定理と呼ばれるものを扱います.そして,これらの基本定理を用いて,さまざまな計算例を扱います.
さらに,スカラー場やベクトル場の更なる抽象化である微分形式を導入することにより,一般次元への微積分(ベクトル解析)の拡張を考える.
第1回ALHも,第2回ALHも,この授業に関する演習問題に取り組んでもらい,レポートとして提出してもらいます.この科目には演習の時間が当てられていないので,ALHはそれを補うものとして活用します.

時間外学習
                              

学生へのメッセージ
この科目は,微分積分学や線形代数学と違い,演習の時間がありません.講義の中で少しは例題を扱うつもりですが,それでも各自で自主的に,そして積極的に学習をすることを期待しています.
授業形態や評価方法など,コロナ感染の状況により,変更もあるかと思いますが,授業は基本的にオンライン(同期授業)で行い,期末試験は対面で行おうと考えています.