関数解析[22C1026]

科目名
Course Title
関数解析[22C1026]
Functional Analysis
授業言語
Language
Japanese
科目区分・科目種 数学科 クラス 数学科
CCBM キャリアデザイン  
単位数 2.0単位 履修年次 34

担当教員 久保 隆徹
学期 後期
曜日・時限・教室
火曜 5 6 理学部1号館633室

受講条件・その他注意
「微分積分1〜6」と「線形代数学1〜6」を受講していること。
「積分論」を受講していることが望ましく,
「微分方程式論」は並行して受講することが望ましい。

授業の形態
講義,対面授業のみ

教科書・参考文献
教科書は特に指定しないが,参考書として以下を挙げる。
・ 関数解析,増田久弥著,裳華房
・ 関数解析,黒田成俊著,共立出版

ALH区分
ALHとして実施

評価方法・評価割合
小論文(レポート)=60%,発表=20%,ALH(アクティブ・ラーニング・アワー)=20%

主題と目標
関数解析は無限次元空間における線形代数と言われ,微分方程式はもちろん確率論や数値解析,最適制御理論など幅広い分野に応用されています。
この講義では,そのような関数解析の基礎的なことを学びます。
目標は,関数解析の基礎的なことを理解し,微分方程式などに応用ができるようになることです。

授業計画
大学の方針に従って,オンライン授業を主とするか対面授業を主とするかを決めます.
Moodleを併用する予定です.

講義予定内容は以下の通り。
1. ノルム空間(1):線形空間,ノルム空間
2. ノルム空間(2):バナッハ空間,Lp空間
3. ノルム空間(3):完備性に基づくいくつかの定理,ノルムの同値性
4. ノルム空間(4):可分
5. ヒルベルト空間(1):プレヒルベルト空間,ヒルベルト空間,直交,射影定理
6. ヒルベルト空間(2):完全正規直交系
7. ヒルベルト空間(3):シュミットの直交化(ALH)
8. 線形作用素(1):線形作用素,有界作用素
9. 線形作用素(2):逆作用素
10. 線形作用素(3):閉作用素
11. ベールのカテゴリー定理(1):ベールのカテゴリー定理,一様有界性の定理
12. ベールのカテゴリー定理(2):開写像の定理,閉グラフ定理
13. ハーン・バナッハの定理(1):線形汎関数,共役空間,リースの表現定理
14. ハーン・バナッハの定理(2):ハーン・バナッハの定理
15. ハーン・バナッハの定理(3):分離定理(ALH)

時間外学習
毎回の講義の復習をきちんとしてください.講義で説明した基本的概念や事実について自分自身で手を動かして,納得してください.講義ノートに記載されている問題は空いている時間に挑戦してください.

学生へのメッセージ
関数解析は無限次元の線形代数と呼ばれる分野であり,抽象的な側面も多いです。しかし,関数解析は抽象的だからこそ微分方程式や確率論,最適制御など幅広い分野に応用できます。関数解析の方法を使いこなせれば応用の面からも非常に意義があると思いますので,頑張って理解していきましょう。