多様体論2[22C1224]

科目名
Course Title
多様体論2[22C1224]
Manifold 2
授業言語
Language
Japanese
科目区分・科目種 数学科 クラス 数学科
CCBM キャリアデザイン  
単位数 2.0単位 履修年次 34

担当教員 戸田 正人
学期 2学期
曜日・時限・教室
月曜 5 6 理学部1号館621室
月曜 7 8 理学部1号館621室

受講条件・その他注意
多様体論 1 を受講していること

授業の形態
講義,演習,対面授業のみ

教科書・参考文献
松本幸夫著「多様体の基礎」(東大出版会),
松島与三著「多様体入門」(裳華房)

ALH区分
ALHとして実施

評価方法・評価割合
期末試験=90,発表=5,ALH(アクティブ・ラーニング・アワー)=5

主題と目標
多様体論1,2 を通じて,可微分多様体という幾何学の概念とその上で定義される諸対象(関数,写像,接ベクトル,ベクトル場等)に関する基礎的事項を解説する.
この講義での学習の到達目標は次の通り.
(1) 「多様体」という幾何学的対象の捉え方を理解する.
(2) 多様体のいくつかの例(球面,トーラス,射影空間等)に親しむ.
(3) 多様体上の関数,写像,接ベクトル,ベクトル場の基本的な性質を理解し,基礎的な計算を実行できるようになる.
上記のことを通じて,数学や数理科学のさまざまな場面で多様体が顔をのぞかせた時その概念の「自然さ」や「有用性」を感じてもらえるようになれば幸いである.

授業計画
多様体論2 では,多様体論1 の続きとして,次の内容を扱う.各内容について,講義と問題演習を行う.
概ね以下の各行の項目が講義1回強の内容である.
ALHの扱いも多様体論1に準ずる

以下に見出しのみ挙げますが、moodleのコースにノートを置きますので
もっと具体的な内容についてはそちらをご覧ください.
演習問題などもmoodleにおきます.
講義形式(オンライン、対面)もその時点の状況に応じて判断する他ないのですが、
そのあたりの情報もmoodleのコース経由でお知らせします.

1.接ベクトル空間と写像の微分
接ベクトル空間の定義、接ベクトル空間の局所表示、
写像の微分の定義と局所表示、
2.部分多様体、沈め込み、はめ込み、埋め込み
写像の微分の階数と陰関数定理、部分多様体の定義
沈め込み、はめ込み、埋め込みと陰関数定理、さまざまな写像の例における微分の階数、
ホウィットニーの埋め込み定理
3.ベクトル場と積分曲線
ベクトル場の定義、常微分方程式と積分曲線
1パラメータ変換群とベクトル場のリーカッコ積

時間外学習
時間外学習は必要ならば行ってください。講義が理解できるならば行う必要はありません。

学生へのメッセージ
多様体論は定義や例などが中心で、定理のような結論は多くない.また,演習問題を通して,実際の応用で運用可能な知識として習得することが望ましい.